§ Умножение отрицательных чисел. Умножение рациональных чисел

Умножение отрицательных чисел

Определение 1

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел –a, -b данное равенство считается верным. (-а)·(-b)=a·b.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (-а)·(-b)=a·b. Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а·(-b)=-a·b справедливое, как и (-а)·b=-a·b. Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(-a)·(-b)=(-a·(-b))=-(-(a·b))= a·b.

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Умножить отрицательное и положительное число

Рассмотрим пример умножения отрицательных чисел по второму пункту правил.

a * (-b) = -(a * b)

Для этого нам понадобятся цифры :

12 * (-15)

Как мы знаем из правил, в случае, если отрицательное число только одно, то результат умножения будет отрицательным:

12 * (-15) = -(12*15) = -180

Проверить на калькуляторе.

Скопировать ссылкуСкопировать ссылку

Видео

Возведение числа в квадрат

Определение: квадратом числа а называется число \(\mathbf{a^2}\) такое, что \(\mathbf{a^2=a\cdot a}\)

Возможно, у вас уже возник вопрос, почему “квадрат”? Сразу ответим на него.

Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длины двух его не противоположных сторон.

А у квадрата все стороны одинаковы, поэтому площадь равняется произведению стороны на саму себя, иными словами, площадь квадрата равняется квадрату длины его стороны.

Мы уже немного ушли в геометрию, которую вы будете изучать позже, а сейчас посмотрим на примеры нахождения квадратов. 

Пример:

Найдем квадрат числа 3.

Считать будем по определению, перемножим 3 само на себя:

\(\mathbf{3^2=3\cdot3=9}\)

Еще пример на положительное число, найдем квадрат числа 12 :

Точно также нужно перемножить число само на себя:

\(\mathbf{12^2=12\cdot12=144}\)

И с нулем все также максимально просто: любое число при умножении на дает , и сам при умножении на даст :

\(\mathbf{0^2=0\cdot0=0}\)

Теперь посмотрим, что будет, если мы будем считать квадрат отрицательного числа:

Посчитаем квадрат \(\mathbf{-4}\):

\(\mathbf{(-4)^2=(-4)\cdot(-4)=16}\)

Заметим, что мы перемножали отрицательные числа — значит, по сути просто взяли квадрат от модуля данного отрицательного числа.

Правило: квадрат отрицательного числа равен квадрату модуля отрицательных чисел.

Также заметим, что квадрат всегда неотрицателен.

Доказательство:

  1. Если число в квадрате положительно, то квадрат положительного числа равен произведению положительных чисел и даст результат больший нуля.
  2. Если число, от которого берется квадрат, равно нулю, то и квадрат равен нулю, что удовлетворяет определению неотрицательности.
  3. Если же число, от которого берется квадрат, отрицательно, квадрат будет являться произведением двух отрицательных чисел, то есть числом положительным.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и во всех из них квадрат был числом неотрицательным, то есть положительным.

Пройти тест Закрыть тест Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации Вход Регистрация

Произведение целых чисел с разными знаками

Не важен порядок множителей положительное число умножаем на отрицательное или отрицательное число умножаем на положительное, в результате всегда будет отрицательное целое число.

Правило умножения двух целых чисел с разными знаками: При умножении двух целых чисел с разными знаками, их произведение будет равно целому отрицательному числу.

Если упростить определение то, обычно говорят: “Минус на плюс дает минус”. “Плюс на минус дает минус”.

Разберем пример: Вычислить произведение целых чисел. -4∙6=-24

А теперь докажем правильность этого решения. -4+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=-4∙6=-24 Шесть раз сложили число (-4).

Такой же ответ будет, если поменять местами числа. 6∙(-4)=-24

Пример: -34∙2=-68

Правило произведения целых чисел

Определение: Произведением двух целых чисел не равных нулю называют произведение их модулей и результат будет со знаком плюс, если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

Самое главное в произведении целых чисел это правильно посчитать знак ответа. Например, оба множителя могут быть положительными или оба отрицательными числами, или один множитель положительный, а другой отрицательный.

Нужно запомнить:

Плюс на плюс дает плюс. “+ ∙ + = +”

Минус на минус дает плюс. “– ∙ – =+”

Минус на плюс дает минус. “– ∙ + = –”

Плюс на минус дает минус. “+ ∙ – = –”

Каждый случай ниже разберем подробно.

Основные определения, главное правило знаков

Правило 1

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Например, -5×-1,5=-5×-1,5=5×1,5=7,5. Обычно пишут короче: -5×-1,5=5×1,5=7,5. Таким образом, в случае каких-либо отрицательных чисел –а и –b справедливо равенство: (-а)×(-b)=a×b

Правило 2

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и перед полученным произведением поставить знак «-».

Пример 2

Например, 6×-4=-6×-4=-6×4=-24. Получаем, что для какого-либо положительного (отрицательного) числа a и отрицательного (положительного) числа -b справедливы равенства: a×-b=-(a×b) -a×b=-(a×b)

Правила знаков для умножения:

  1. -×-=+ — если умножается минус на минус, то ответ будет со знаком плюс, то есть минус на минус дает плюс.
  2. -×+=- — если умножается минус на плюс, то ответ будет со знаком минус, то есть минус на плюс дает минус.
  3. +×-=-— если умножается плюс на минус, то ответ будет со знаком минус, то есть плюс на минус дает минус.
  4. +×+=+ — если умножается плюс на плюс, то ответ будет со знаком плюс, то есть плюс на плюс дает плюс.

Теги

Adblock
detector